Obiettivi

Il Corso si propone di fornire le basi e gli strumenti necessari per il Calcolo di limiti, derivate, studio di funzioni e serie e una metodologia critica di studio.

Programma

Integrazione alla Riemann e principali proprietà. Integrale inferiore e superiore. Funzione di Dirichlet. Funzione integrale e sua lipschitzianità (con dim.), teorema della media nelle varie versioni (tutte quante con dim.), teorema di Torricelli-Barrow (con dim.), Formula Fondamentale del Calcolo Integrale (con dim.).
Significato geometrico dell`integrale (con esercizi); legami, differenze e affinità tra integrale ed aree; calcolo di aree.

Integrale indefinito e sue fondamentali proprietà. Integrazione per parti e per sostituzione. Formule della tangente dell’arco metà. Varie versioni della formula di Hermite (escluso il caso di radici complesse multiple).
Legami tra integrabilità alla Riemann ed esistenza di primitive (esempi).
Integrali generalizzati o impropri (cenni).

Formula di Taylor. Differenziale. Sviluppi in serie di Taylor ed esempi.

Introduzione ai numeri complessi: operazioni elementari, potenze, radici, logaritmi. Teorema fondamentale dell?algebra (senza dim.; solo un cenno).

Funzioni di due variabili: intorni, continuità, differenziabilità, derivate parziali, gradiente, Hessiano. Ricerca di massimi e minimi per funzioni di due e tre variabili. Punti stazionari o critici, punti sella. Autovalori e autovettori di matrici 2 x 2 e 3 x 3. Integrali doppi (con esercizi, senza particolari approfondimenti teorici). Integrali importanti per il Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica. Cenni sulla funzione Gamma e sue principali proprietà.

Equazioni differenziali: Generalità su equazioni differenziali ordinarie del primo ordine, problema di Cauchy. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Metodo della variazione delle costanti arbitrarie (sia per il primo che per il secondo ordine: molto bene).
Applicazioni a problemi della Fisica riguardanti i circuiti oscillanti, il moto dei gravi e il pendolo. Applicazioni all’equazione logistica e alla dinamica delle popolazioni.

Cenni sulle linee di livello.

N.B.: Solo dov’è esplicitamente indicato viene richiesta la dimostrazione; altrimenti si intende senza dimostrazione

Supplement

Integrali, equazioni differenziali, funzioni di due variabili, hessiano
Supplement Inglese

Integrals, differential equations, functions of two variables, Hessian

Metodi didattici

Lezioni frontali in aula

Modalità di valutazione

L’esame consiste in due prove, prova scritta e orale. La prova scritta verte su esercizi su argomenti del corso. La prova orale verte su tutto il programma, esercizi compresi. Passano la prova scritta solamente gli studenti che riportano una votazione non inferiore a 16/30.

Testi consigliati

Dispense fornite dal docente
R. A. ADAMS, Calcolo Differenziale, Vol. I, Ambrosiana, 1999
C. VINTI, Lezioni di Analisi Matematica, Vol. I e II, Galeno, 1992
C. D. PAGANI – S. SALSA, Matematica per i Diplomi Universitari, Masson, 1997
G. ZWIRNER, Esercizi di Analisi Matematica, Vol. II, CEDAM, 1977
B. DEMIDOVIC, Esercizi di Analisi Matematica, MIR, 1987

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